试证明下列命题：
（1）设 $0 < a_n < 1(n=1,2, \cdots)$ ，若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-a_n\right)$ 收敛。
（2）设 $\left\{a_n\right\}$ 是递减正数列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a=0$ 当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-a_{n+1} / a_n\right)$ 发散．