甲箱中有 4 个红球、 2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 3 个红球、 3 个白球和 3 个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 $A_1, A_2$ 和 $A_3$ 表示事件由甲箱取出的球是红球、白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示事件由乙箱取出的球是红球，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 事件 $B$ 与事件 $A_i(i=1,2,3)$ 相互独立
$\text{B.}$ $P\left(A_1 B\right)=\frac{8}{45}$
$\text{C.}$ $P(B)=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $P\left(A_2 \mid B\right)=\frac{6}{31}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$