设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1>0, a_n=\arctan \left(a_n+\tan a_{n+1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，证明：
（I）极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（II）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；（III）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n^2}$ 收敛。