设 $\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 为来自二维正态总体 $N\left(\theta, \theta ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; 0\right)$ 的简单随机样本， $\sigma_1^2>0, \sigma_2^2>0$ 已知，$\theta$ 未知，设 $\hat{\theta}=a \bar{X}+b \bar{Y}$ 为 $\theta$ 的估计量，其中 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, a, b$ 为常数，当 $E \hat{\theta}=\theta$ 时，$D \hat{\theta}$ 的最小值为（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\sigma_1^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{B.}$ $\frac{\sigma_2^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{C.}$ $\frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{n\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}$
$\text{D.}$ $\frac{\sigma_1^2 \sigma_2^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$