设二次型

$$
\begin{gathered}
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3-2 x_1 x_3, \\
g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2+4 x_2 x_3 .
\end{gathered}
$$

（1）求可逆线性变换 $x=P_1 y$ 将 $f$ 化为规范形；
（2）求可逆线性变换 $x=P_2 y$ 将 $f$ 化为规范形的同时将 $g$ 化为标准形；
（3）求 $\max _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{f(x)}$ ，其中 $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$ ．