如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1$ 中， $\mathrm{AB} \perp \underline{\mathrm{AC}}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{CC}_1=1$ ， E 是线段 $\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$ 上的动点（不与点 $\mathrm{B}_1, \mathrm{C}_1$ 重合），且满足 $\overrightarrow{B_1 E}=\lambda \overrightarrow{B_1 C_1}$ ，实数 $\lambda \in(0,1)$ ．
（1）当 $\lambda=\frac{1}{2}$ 时，证明： $\mathrm{A} 1 \mathrm{E} \perp$ 平面 EBC ；
（2）当 $\lambda=\frac{1}{3}$ 时，求二面角 $E-A_1 B-B_1$ 的余弦值；
（3）求四面体 $\mathrm{EA}_1 \mathrm{BC}$ 的外接球半径的取值范围．