在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，点 P 在棱 $\mathrm{BB}_1$ 上移动， $\mathrm{BP}=\mathrm{t}(0 \leqslant \mathrm{t} \leqslant 2)$ ．过点 P作平面 $\alpha$ 垂直于空间对角线 $\mathrm{AC}_1$ ，设平面 $\alpha$ 与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为 $G$ ，面积为 $S$ ，边数为 $N$ 。当 $t$ 从 0 到 2 连续变化时，下列说法正确的是
$\text{A.}$ 平面 $\alpha$ 与平面 ABCD 夹角的余弦值是：$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $S$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{3}]$
$\text{C.}$ $N$ 的值可能是 5
$\text{D.}$ 点 G 的轨迹的长度为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$