设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。
1．求 $a$ 的值；
2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。