（北京交通大学，2015 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n$ ，作实二次型

$$
f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j, \quad g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j,
$$


其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．证明：$f$ 与 $g$ 具有相同的正、负惯性指数．