设 $f(t)=\left(\int_0^t \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{\mathrm{e}^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} \mathrm{~d} x$ ，证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$