如图1所示，在等腰梯形 $A B C D, B C \| A D, C E \perp A D$ ，垂足为 $E, A D=3 B C= 3, E C=1$ ．将 $\triangle D E C$ 沿 $E C$ 折起到 $\triangle D_1 E C$ 的位置，使平面 $\triangle D_1 E C \perp$ 平面 $A B C E$ ，如图2所示，点 $G$ 为棱 $A D_1$上一个动点．
（I）当点 $G$ 为棱 $A D_1$ 中点时，求证：$B G$ ॥平面 $D_1 E C$ ；
（II）求证：$A B \perp$ 平面 $D_1 B E$ ；
（III）是否存在点 $G$ ，使得二面角 $G-B E-D_1$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ？若存在，求出 $A G$ 的长；若不存在，请说明理由．