《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知 $a b=1$ ，求证：$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=1$ ．
证明：原式 $=\frac{a b}{a b+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{1}{1+b}=1$ ．
波利亚在《怎样解题》中也指出：＂当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长．＂类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征。
请根据上述材料解答下列问题：
（1）已知 $a b=1$ ，求 $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$ 的值；
（2）若 $a b c=1$ ，解方程 $\frac{5 a x}{a b+a+1}+\frac{5 b x}{b c+b+1}+\frac{5 c x}{c a+c+1}=1$ ；
（3）若正数 $a, b$ 满足 $a b=1$ ，求 $M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2 b}$ 的最小值．