已知非负函数 $y=f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f(2 x) \leq f(x)+1$ 。证明：
（1）存在常数 $M$ ，使得当 $x>1$ 时， $0 \leq f(x) \leq M+\log _2 x$ ；
（2）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $A=0$ 。