已知 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq L < 1$（ $L$ 是常数），$x_0$ 满足 $f\left(x_0\right)=x_0$ 。 对任意取定的 $x_1$ ，定义 $x_{n+1}=f\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ 。
（1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0$ ；
（2）当 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2} \ln \left(1+\frac{x^2}{2}\right)$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 。