已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0)$ ，若椭圆 $C$ 上存在一点 $M$ 使得 $\triangle M F_1 F_2$的内切圆半径为 $\frac{c}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{3}{5}\right]$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{4}{5}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{3}{5}, 1\right)$
$\text{D.}$ $\left[\frac{4}{5}, 1\right)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$