在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C$ 为锐角，分别以 $A B, A C$ 为直径作半圆，过点 $B, A, C$ 作弧 $B A C$ ，如图所示．若 $A B=4, A C=2, S_1-S_2= \frac{\pi}{4}$ ，则 $S_3-S_4=()$ ．
$\text{A.}$ $\frac{29 \pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{23 \pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{11 \pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$