试证明下列不等式：
（1）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的下凸函数，则 $\int_a^b f(x) d x \leqslant(b-a) \frac{f(b)+f(a)}{2}$ ．
（2）（Чебышев一一切比雪夫不等式）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增（或递减）函数，则有

$$
\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x \cdot \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) d x \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) g(x) d x .
$$

（若 $f(x)$ 递增，$g(x)$ 递减，则不等式相反．）