设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{4}+a x y, & |x| \leqslant 1,|y| \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
其中常数 $a$ 满足 $|a| \leqslant \frac{1}{4}$ ．记随机事件 $A=\{X \geqslant 0\}, B=\{Y \geqslant 0\}$ ，证明以下三个结论相互等价：
（1）$A, B$ 相互独立；（2）$X$ 与 $Y$ 不相关；（3）$X$ 与 $Y$ 相互独立．