设 $X$ 与 $Y$ 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & x \leqslant 0
\end{array}\right. \\
& f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}
\mu e^{-\mu y}, & y>0 \\
0, & y \leqslant 0
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$


其中 $\lambda>0, \mu>0$ 为常数．引人随机变量
$$
Z= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y .\end{cases}
$$

（1）试求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ；
（2）试求 $Z$ 的概率分布和分布函数．