已知复数 $z=a+b \mathrm{i} ~(a, b \in \mathbf{R}$ 且 $b \neq 0), \bar{z}$ 是 $z$ 的共扼复数，则下列命题中的真命题是
$\text{A.}$ $z+\bar{z} \in \mathbf{R}$
$\text{B.}$ $z-\bar{z} \in \mathbf{R}$
$\text{C.}$ $z \cdot \bar{z} \in \mathbf{R}$
$\text{D.}$ $\frac{\bar{z}}{z} \in \mathbf{R}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$