设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，记 $A$ 为椭圆下端点，$B$ 为右端点，$|A B|=\sqrt{10}$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）若 $P(m, n)$ 为平面内不在 $y$ 轴上一点，$R$ 是射线 $A P$ 上一点，且有 $|A P| \cdot|A R|=3$ ．
（i）用 $m, n$ 表示 $R$ 的坐标；
（ii）设直线 $O R$ 的斜率为 $k_1$ ，直线 $O P$ 的斜率为 $k_2$ ，若 $k_1=3 k_2, Q$ 为 $C$ 上一点，求 $|P Q|$ 的最大值．