已知 $a, b, c$ 为正实数，满足 $\left(\frac{1}{2}\right)^a=\log _2 a,\left(\frac{1}{2}\right)^b=b^2, c^{\frac{1}{2}}=2^{-c}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $b < c < a$
$\text{C.}$ $c < a < b$
$\text{D.}$ $c < b < a$
$\text{E.}$
$\text{F.}$