如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y=a x^2+b x+3$ 经过点 $A(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且关于直线 $x=1$ 对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 $-1 \leq x \leq t$ 时，$y$ 的取值范围是 $0 \leq y \leq 2 t-1$ ，求 $t$ 的值；
（3）点 $C$ 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $A B$ 于点 $D$ ，在 $y$ 轴上是否存在点 $E$ ，使得以 $B, C, D, E$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．