已知命题 $p: ~ \exists x \in R , x^2-2 x+a^2=0$ ，命题 $p$ 为真命题时实数 $a$ 的取值集合为 $A$ ．
（1）求集合 $A$ ；
（2）设集合 $B=\{a \mid 2 m-3 \leqslant a \leqslant m+1\}$ ，若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围。