设 $A$ 为 $n$ 阶正定实对称矩阵，$\alpha, \beta$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\left( \alpha ^T \beta \right)^2 \leq\left( \alpha ^T A \alpha \right)\left( \beta ^T A ^{-1} \beta \right)$ ，等号成立当且仅当 $A \alpha$ 与 $\beta$ 线性相关．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$