已知函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{2} a x^2-(a+1) x(a \in R )$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $y=f(x)$ 的零点个数．
（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=\frac{1}{2} a x^2$ 有两个不同实根 $x_1, x_2$ ，求实数 $a$ 的取值范围并证明 $x_1 \cdot x_2>e^2$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$