已知函数 $f(x)=\sin x-x \cos x(x \geq 0)$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的图象在 $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 处的切线方程；
（2）若任意 $x \in(0,+\infty)$ ，不等式 $f(x) \leq a x^3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）设 $g(x)=\frac{3}{x^2} f(x)$ ，证明：$\left[1+g\left(\frac{1}{3}\right)\right]\left[1+g\left(\frac{1}{3^2}\right)\right] \cdots\left[1+g\left(\frac{1}{3^n}\right)\right] < \sqrt{ e }$ 。