已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x, g(x)=a x-2(a \in R )$
（1）若 $f(x) \geq g(x)$ 对任意的 $x \in[1,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）求证： $\ln 2 \cdot \ln 3 \cdot \ln 4 \ldots \ln n>\frac{2^n}{n(n+1)} \quad\left(n \geq 2, n \in N _{+}\right)$．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$