已知函数 $f(x)=a \ln x+1-x$ ．
（1）若 $f(x) \leq 0$ ，求 $a$ 的值；
（2）证明：当 $n \in N _{+}$且 $n \geq 2$ 时，$\frac{\ln 2}{2^2} \times \frac{\ln 3}{3^2} \times \frac{\ln 4}{4^2} \times L \times \frac{\ln n}{n^2} < \frac{1}{n}$ ．