设 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} a_n+n, n \text { 为奇数，} \\ a_n-2 n, n \text { 为偶数．}\end{array}\right.$
（1）求 $a_4$ ，并证明：$\left\{a_{2 n}-2\right\}$ 是等比数列；
（2）求满足 $S_{2 n}>0$ 的所有正整数 $n$ ．
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$