如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=4, A D=2, E$ 为线段 $C D$ 中点，现将 $\triangle A D E$ 沿 $A E$ 折起，使得点 $D$ 到点 $P$ 位置，且 $A P \perp B E$ ．
（1）求证：平面 $A E P \perp$ 平面 $A B C D$ ；（2）已知点 $M$ 是线段 $C P$ 上的动点（不与点 $P, C$ 重合），若使平面 $M A E$ 与平面 $A P E$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$ ，试确定点 $M$ 的位置．