求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程，并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解。