已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\frac{4 \sin C+2 \sin B}{\sin C+2 \sin B}+\frac{\sin B}{\sin C}$ 的最小值为（）
$\text{A.}$ $\sqrt{6}-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{6}+\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{6}-1$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}+1$
$\text{E.}$
$\text{F.}$