设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $C$,使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $x = C y$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $B$, 求正交矩阵 $Q$, 使得 $Q ^{ T }\left( C ^{ T } B C \right) Q$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $T$, 使得在合同变换 $x = T y$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化为标准形。