已知定义域为 $(-2,2)$ 的函数 $f(x)=\frac{a \cdot 3^x+b}{3^x+1}$ 是奇函数, 且 $f(1)=\frac{1}{2}$.
(1) 求出 $a, b$ 的值, 判断函数 $f(x)$ 在 $(-2,2)$ 上的单调性, 并用定义证明;
(2) 若 $f(m+1)+f(2 m-1) < 0$, 求实数 $m$ 的取值范围.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$