已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$, 离心率为 $e$, 点 $P$ 在椭圆上, 连接 $P F_1$ 并延长交 $C$ 于点 $Q$, 连接 $Q F_2$, 若存在点 $P$ 使 $|P Q|=\left|Q F_2\right|$ 成立, 则 $e^2$ 的取值范围为 $\qquad$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$