如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $\square A B C$ 是边长为 2 的正三角形, $A A_1=4, M$ 为 $C C_1$ 的中点, $P$ 为线段 $A_1 M$上的动点 (不包含端点), 则下列说法正确的是 $\qquad$ (填写序号)
(1) $A_1 M \perp$ 平面 $A B M$
(2)三棱锥 $P-A B M$ 的体积的取值范围为 $\left(0, \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)$
(3) $B P$ 与 $B_1 C_1$ 为异面直线
(4) 存在点 $P$, 使得 $A P$ 与 $B C$ 垂直