已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x, g(x)=\ln x$, 若 $f(x), g(x)$ 的图象与直线 $l_1: y=a_1 x+b_1$ 分别切于点 $A\left(x_1, y_1\right)$, $B\left(x_2, y_2\right)\left(x_1>x_2\right)$, 与直线 $l_2: y=a_2 x+b_2$ 分别切于点 $C, D$, 且 $l_1, l_2$ 相交于点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 则
$\text{A.}$ $x_1-\ln x_2=0$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{x_1}=\frac{x_1+1}{x_1-1}$
$\text{C.}$ $a_1>2-a_2$
$\text{D.}$ $x_0+y_0>\frac{2 \mathrm{e}^2}{\mathrm{e}^{x_1}-1}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$