已知点 $P$ 是棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 上一点 (包括边界), 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的取值范团是（）
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$
$\text{B.}$ $[2,4]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$
$\text{D.}$ $[1,4]$
$\text{E.}$
$\text{F.}$