已知函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足: $f^{\prime}(x)-f(x)=\mathrm{e}^{2 x}$, 且 $f(0)=2$. 若函数 $g(x)=\mathrm{e}^{-x} f(x)+\mathrm{e}^{2-x}+(a-1) \sin \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{6}\right)$ 有且只有一个零点, 则实数 $a$ 的值为（）
$\text{A.}$ -e
$\text{B.}$ $-2 e$
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ 2 e
$\text{E.}$
$\text{F.}$