若关于 $x$ 的不等式 $(\mathrm{e}-1)(\ln a+x) \geq a \mathrm{e}^x-1$ 在 $x \in[0,1]$ 内有解, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( $\quad$ )
$\text{A.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}^2\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{1}{2 \mathrm{e}}, \mathrm{e}\right]$
$\text{E.}$
$\text{F.}$