已知以点 $C\left(t, \frac{2}{t}\right)(t>0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$, 且与 $x$ 轴交于点 A , 与 $y$ 轴交于点 $B, \mathrm{~A}$ 、 B 异于原点
(1)求证: $\triangle A O B$ 的面积为定值.
(2)设直线 $2 x+y-4=0$ 与圆 $C$ 交于点 $M, N$, 若 $|O M|=|O N|$, 求圆 $C$ 的方程.
(3)在（2）的条件下, 设 $P, Q$ 分别是直线 $l: x+y+2=0$ 和圆 $C$ 上的动点, 求 $|P B|+|P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$