已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 圆 $C_k:(x-k)^2+(y-\sqrt{3} k)^2=4$, 则下列结论正确的是 $\qquad$
(1) 无论 $k$ 取何值，圆心 $C_k$ 始终在直线 $y=\sqrt{3} x$ 上；
(2) 若圆 $O$ 与圆 $C_k$ 有公共点, 则实数 $k$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$;
(3) 若圆 $O$ 与圆 $C_k$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k= \pm 1$ 或 $k= \pm \frac{3}{4}$;
(4)与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线, 如果两个圆在公切线的同侧, 则这条公切线叫做这两个圆的外公切线, 当 $k= \pm \frac{3}{2}$ 时, 两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$.