已知直线 $x+y-k=0(k>0)$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 交于不同的两点 $A, B, O$ 是坐标原点, 且有 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \geq \sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, \sqrt{6})$
$\text{B.}$ $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$
$\text{C.}$ $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{2})$
$\text{D.}$ $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{3})$
$\text{E.}$
$\text{F.}$