设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+\pi)$ 为奇函数, $f(x+2 \pi)$ 为偶函数. 当 $x \in[0, \pi]$ 时， $f(x)=\sin x$ ，则下列结论正确的有（）
$\text{A.}$ $f\left(\frac{5 \pi}{2}\right)=-1$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $\left(3 \pi, \frac{7 \pi}{2}\right)$ 上单调递减
$\text{C.}$ 点 $(8 \pi, 0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个对称中心
$\text{D.}$ 方程 $f(x)+\lg x=0$ 有 5 个实数解
$\text{E.}$
$\text{F.}$