已知函数 $f(x)$, 对任意的 $x, y \in \mathbf{R}$ 都有 $f(x+y)=2^x f(y)+2^y f(x)$, 且 $f(1)=2$, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\frac{f(x)}{2^x}$ 是奇函数
$\text{C.}$ $y=f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数
$\text{D.}$ $f(n)=n \cdot 2^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$
$\text{E.}$
$\text{F.}$