若函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ 内的某个区间 $I$ 上是增函数, 且 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $I$ 上也是增函数, 则称 $y=f(x)$ 是 $I$ 上的 "完美函数"，已知 $g(x)=e^x+x-\ln x+1$ ，若函数 $g(x)$ 是区间 $\left[\frac{m}{2},+\infty\right)$ 上的 "完美函数"，则正整数 $m$ 的值可能为（ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
$\text{E.}$
$\text{F.}$