$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=$ $2 c \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $c=1, D$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆上的点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}^2$, 求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$