江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期开学第一次考试数学试题
单选题
若直线 $l: x=\tan \frac{2 \pi}{5}$ 的倾斜角为 $\alpha$, 则 $\alpha=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 不存在
已知直角梯形 $A B C D$, 且 $A(1,1), B(3,1), C(3,3), D(2,3)$, 则过其中三点的圆的方程可以为（）
$\text{A.}$ $(x-2)^2+y^2=3$
$\text{B.}$ $(x-2)^2+y^2=2$
$\text{C.}$ $(x-2)^2+(y-2)^2=2$
$\text{D.}$ $(x-3)^2+(y-2)^2=2$
已知直线 $l: m x+y+3=0$ 和直线 $n: 3 m^2 x+(m-2) y+1=0$, 则 " $m=-1$ "是" $l \| n$ "的( )
$\text{A.}$ 必要不充分条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-2 m x+4 m y+5 m^2-3 m+3=0$, 若点 $(1,-2 m)$ 在圆外, 则 $m$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $(-\infty, 1) \cup(4,+\infty)$
$\text{B.}$ $(1,+\infty)$
$\text{C.}$ $(1,4)$
$\text{D.}$ $(4,+\infty)$
设点 $A(-2,3), B(3,2)$, 若直线 $a x+y+2=0$ 与线段 $A B$ 有交点, 则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{4}{3}\right] \cup\left[\frac{5}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ $\left[-\frac{4}{3}, \frac{5}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[-\frac{5}{2}, \frac{4}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left(-\infty,-\frac{5}{2}\right] \cup\left[\frac{4}{3},+\infty\right)$
已知直线 $l_1: m x+y+4=0$ 与直线 $l_2: x-m y-6-4 m=0$ 交于点 $P\left(x_0, y_0\right)$, 则 $x_0^2+y_0^2$ 的最大值为（）
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 32
$\text{D.}$ 64
已知直线 $x+y-k=0(k>0)$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 交于不同的两点 $A, B, O$ 是坐标原点, 且有 $|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}| \geq \sqrt{3}|\overrightarrow{A B}|$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $(\sqrt{3}, \sqrt{6})$
$\text{B.}$ $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$
$\text{C.}$ $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{2})$
$\text{D.}$ $[\sqrt{6}, 2 \sqrt{3})$
数学中有许多形状优美, 寓意美好的曲线, 曲线 $C: x^2+y^2=1+|x| y$ 就是其中之一 (如图),给出下列三个结论:
(1)曲线 $C$ 所围成的"心形"区域的面积大于 3
(2) 曲线 $C$ 恰好经过 8 个整点 (即横、纵坐标均为整数的点)
(3)曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$其中，所有正确结论的序号是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (3)
$\text{D.}$ (1)
多选题
对于直线 $l_1: a x+2 y+3 a=0, l_2: 3 x+(a-1) y+3-a=0$. 以下说法正确的有 ( )
$\text{A.}$ $l_1 / / l_2$ 的充要条件是 $a=3$
$\text{B.}$ 当 $a=\frac{2}{5}$ 时, $l_1 \perp l_2$
$\text{C.}$ 直线 $l_1$ 一定经过点 $M(3,0)$
$\text{D.}$ 点 $P(1,3)$ 到直线 $l_1$ 的距离的最大值为 5
设圆 $C:(x-1)^2+(y-1)^2=3$, 直线 $l: x+y+1=0, P$ 为 $l$ 上的动点, 过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线 $P A 、 P B$, 切点分别为 $\mathrm{A} 、 B$, 则下列说法中正确的有 ( )
$\text{A.}$ $|P A|$ 的取值范围为 $\left[\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty\right)$
$\text{B.}$ 四边形 $P A C B$ 面积的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ 存在点 $P$ 使 $\angle A P B=120^{\circ}$
$\text{D.}$ 直线 $A B$ 过定点 $(0,0)$
"曼哈顿距离"是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇, 用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 的曼哈顿距离 $d(A, B)=\left|x_1-x_2\right|+\left|y_1-y_2\right|$ ，则下列结论正确的是（）
$\text{A.}$ 若点 $P(2,4), Q(-2,1)$, 则 $d(P, Q)=7$
$\text{B.}$ 若点 $M(-1,0), N(1,0)$, 则在 $x$ 轴上存在点 $P$, 使得 $d(P, M)+d(P, N)=1$
$\text{C.}$ 若点 $M(2,1)$, 点 $P$ 在直线 $x-2 y+6=0$ 上, 则 $d(P, M)$ 的最小值是 3
$\text{D.}$ 若点 $M$ 在 $y=x^2$ 上, 点 $N$ 在直线 $2 x-y+8=0$ 上, 则 $d(M, N)$ 的值可能是 4
填空题
圆 $C_1:(x-1)^2+y^2=1$ 与圆 $C_2:(x-4)^2+(y-4)^2=9$ 的位置关系为
经过两条直线 $3 x+y-5=0$ 与 $x-2 y+3=0$ 的交点, 且在 y 轴上的截距是 x 轴上的 3 倍的直线方程为
已知圆 $O: x^2+y^2=1$ 圆 $C_k:(x-k)^2+(y-\sqrt{3} k)^2=4$, 则下列结论正确的是 $\qquad$
(1) 无论 $k$ 取何值，圆心 $C_k$ 始终在直线 $y=\sqrt{3} x$ 上；
(2) 若圆 $O$ 与圆 $C_k$ 有公共点, 则实数 $k$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$;
(3) 若圆 $O$ 与圆 $C_k$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k= \pm 1$ 或 $k= \pm \frac{3}{4}$;
(4)与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线, 如果两个圆在公切线的同侧, 则这条公切线叫做这两个圆的外公切线, 当 $k= \pm \frac{3}{2}$ 时, 两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$.
解答题
根据下列条件, 分别求满足条件的直线或圆的方程:
(1) 已知以点 $A(-1,2)$ 为圆心的圆与直线 $l_1: x+2 y+7=0$ 相切, 过点 $B(-2,0)$ 的动直线 $l$ 与圆$A$ 相交于 $M, N$, 当 $|M N|=2 \sqrt{19}$ 时, 求直线 $l$ 的方程.
(2) 以 $C(4,-3)$ 为圆心的圆与圆 $x^2+y^2=4$ 相切, 求圆 $C$ 的方程.
已知直线 $l:(a-1) y=(2 a-3) x+1$.
(1)求证: 直线 $l$ 过定点;
(2) 若直线 $l$ 不经过第二象限, 求实数 $a$ 的取值范围;
(3)若直线 $l$ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小, 求 $l$ 的方程.
已知以点 $C\left(t, \frac{2}{t}\right)(t>0)$ 为圆心的圆经过原点 $O$, 且与 $x$ 轴交于点 A , 与 $y$ 轴交于点 $B, \mathrm{~A}$ 、 B 异于原点
(1)求证: $\triangle A O B$ 的面积为定值.
(2)设直线 $2 x+y-4=0$ 与圆 $C$ 交于点 $M, N$, 若 $|O M|=|O N|$, 求圆 $C$ 的方程.
(3)在（2）的条件下, 设 $P, Q$ 分别是直线 $l: x+y+2=0$ 和圆 $C$ 上的动点, 求 $|P B|+|P Q|$ 的最小值及此时点 $P$ 的坐标.
已知圆 $C$ 过点 $P(1,1)$, 且与圆 $M:(x+2)^2+(y+2)^2=r^2(r>0)$ 关于直线 $x+y+2=0$ 对称.
(1)判断圆 $C$ 与圆 $M$ 的位置关系，并说明理由;
(2)过点 $P$ 作两条相异直线分别与 $\square C$ 相交于 $A, B$.
① 若直线 $P A$ 和直线 $P B$ 互相垂直, 求 $P A+P B$ 的最大值;
② 若直线 $P A$ 和直线 $P B$ 与 $x$ 轴分别交于点 $G 、 H$, 且 $\angle P G H=\angle P H G, O$ 为坐标原点, 试判断直线 $O P$ 和 $A B$ 是否平行？请说明理由.
某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 $A B C D$ 内举行机器人拦截挑战赛, 在 $E$ 处按 $\overline{E P}$ 方向释放机器人甲, 同时在 $A$ 处按某方向释放机器人乙, 设机器人乙在 $Q$ 处成功拦截机器人甲. 若点 $Q$ 在矩形区域 $A B C D$ 内（包含边界）, 则挑战成功, 否则挑战失败.已知 $A B=24$ 米, $E$ 为 $A B$ 中点, 比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进, 记 $\overrightarrow{E P}$ 与 $\overline{E B}$ 的夹角为 $\theta$ 。
(1) 若 $\theta=45^{\circ}, A D$ 足够长, 机器人乙的速度是机器人甲的速度的 $\sqrt{2}$ 倍, 则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？
(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的 2 倍, 应如何设计矩形区域 $A B C D$的宽 $A D$ 的长度, 才能确保无论 $\theta$ 的值为多少, 总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域 $A B C D$ 内成功拦截机器人甲？
