浙江绍兴市 2022学年第二学期高中期末调测（高二数学）浙江上虞马伟峰解析

单选题

设集合 $A=\{x \mid x>0\}, B=\left\{x \mid x^2-2 x-3 < 0\right\}$, 则 $A \cap B=$

$\text{A.}$ $(0,3)$ $\text{B.}$ $(0,1)$ $\text{C.}$ $(-1,3)$ $\text{D.}$ $(-3,1)$

若 $z=\frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 则 $|z|=$

$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{2}$ $\text{D.}$ 2

已知单位向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 互相垂直, 且 $\boldsymbol{c}=\sqrt{5} \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$, 记 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角为 $\boldsymbol{\theta}$, 则 $\cos \theta=$

$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ $\text{B.}$ $-\frac{2}{3}$ $\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$

尽管目前人类还无法准确预报地震, 但科学家通过研究, 已经对地震有所了解. 例如, 地震时释放出的能量 $E$ （单位: 焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $\lg E=4.8+1.5 M$. 据此, 地震震级每提高 1 级, 释放出的能量是提高前的（参考数据： $\sqrt{10} \approx 3.16$ ）

$\text{A.}$ 9.46 倍 $\text{B.}$ 31.60 倍 $\text{C.}$ 36.40 倍 $\text{D.}$ 47.40 倍

甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行劳动技能比赛, 决出第 1 名至第 5 名的名次. 甲和乙去询问成绩, 回答者对甲说："很遗澸，你和乙都没有得到冠军." 对乙说："你当然不会是最差的."从这两个回答分析， 5 人的名次排列可能的情况有（）

$\text{A.}$ 18 种 $\text{B.}$ 36 种 $\text{C.}$ 54 种 $\text{D.}$ 120 种

若 $\sin \theta+2 \cos \theta=\frac{\sqrt{10}}{2}$, 则 $(\quad)$

$\text{A.}$ $\tan 2 \theta=-\frac{3}{4}$ $\text{B.}$ $\tan 2 \theta=\frac{3}{4}$ $\text{C.}$ $\sin 2 \theta=-\frac{3}{5}$ $\text{D.}$ $\sin 2 \theta=\frac{3}{5}$

在棱长为 10 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $P$ 是侧面 $A D D_1 A_1$ 内的点, $P$ 到 $A_1 D_1$ 和 $A A_1$ 的距离分别为 3 和 2 , 过点 $P$ 且与 $A_1 C$ 平行的直线交正方体表面于另一点 $Q$, 则 $|P Q|=(\quad)$

$\text{A.}$ $9 \sqrt{3}$ $\text{B.}$ $8 \sqrt{3}$ $\text{C.}$ $7 \sqrt{3}$ $\text{D.}$ $6 \sqrt{3}$

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x+2)+f(x)=f(8), f(2 x+1)$ 为奇函数, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$, 则 $\sum_{k=1}^{22} k f\left(k-\frac{1}{2}\right)=$

$\text{A.}$ -11 $\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$ $\text{C.}$ 0 $\text{D.}$ $\frac{21}{2}$

多选题

甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为:

则

$\text{A.}$ 甲组数据的极差小于乙组数据的极差 $\text{B.}$ 甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数 $\text{C.}$ 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 $\text{D.}$ 甲组数据的第 60 百分位数等于乙组数据的第 60 百分位数

函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $T$, 若 $\frac{2 \pi}{3} < T < 2 \pi$, 且 $x=\frac{\pi}{8}$ 是 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴, 则 ( )

$\text{A.}$ $\omega=2$ $\text{B.}$ $x=-\frac{\pi}{4}$ 是函数 $f(x)$ 的一个零点 $\text{C.}$ $y=f(x)$ 在 $\left(0, \frac{5 \pi}{4}\right)$ 有 2 个极值点 $\text{D.}$ 直线 $y=\sqrt{2} x+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是一条切线

在正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $O$ 是 $\triangle A B C$ 的中心, $A B=3, A A_1=2, A_1 B_1=1$, 则

$\text{A.}$ $O B_1 \perp A_1 C_1$ $\text{B.}$ 正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $\frac{13 \sqrt{3}}{6}$ $\text{C.}$ 正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的外接球的表面积为 $12 \pi$ $\text{D.}$ 侧面 $B C C_1 B_1$ 所在平面截正三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 外接球所得截面的面积为 $\frac{7 \pi}{3}$

已知 $a>0$, 且 $a+\mathrm{e}^b=2$, 则（）

$\text{A.}$ $a+b \leqslant 1$ $\text{B.}$ $\ln a+\mathrm{e}^b \leqslant 1$ $\text{C.}$ $\mathrm{e}^a+b \geqslant 2$ $\text{D.}$ $\ln a-|b| \leqslant 0$

填空题

已知 $x>1$, 则 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值是

$\left(1-\frac{1}{x}\right)(x+1)^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是

甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球, 甲盒中有 5 个红球, 2 个白球; 乙盒中有 4 个红球, 3 个白球。先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为

已知正 $\triangle A B C$ 的顶点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内, 点 $B, C$ 均在平面 $\alpha$ 外 (位于平面 $\alpha$ 的同侧), 且在平面 $\alpha$ 上的射影分别为 $B^{\prime}, C^{\prime}, \angle B^{\prime} A C^{\prime}=90^{\circ}$, 设 $B C$ 的中点为 $D$, 则直线 $A D$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值的取值范围是 $\qquad$ .

解答题

已知 $\vec{a}=(\sqrt{3} \sin x, 1), \vec{b}=(1,-\cos x), x \in \mathbf{R}$.
（1）若 $x=0$, 求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$;
（2）设 $f(x)=\vec{a} \cdot \vec{b}$, 求 $f(x)$ 的单调递增区间.

中国电动汽车重大科技项目的研发开始于 2001 年, 经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、"十城千辆"示范平台等应用拉动, 中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系. 汽车工业协会的最新数据显示, 2022 年中国电动汽车销量达 491 万辆, 是 2010 年的 400 多倍. 某人打算购买一款国产
电动汽车, 调査了 100 辆该款车的续航里程, 得到频率分布表如下:

（1）在图中作出频率分布直方图：

（2）根据（1）中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数平均教.
（同一组中的数据以该组区间的中间值为代表）

在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 且 $\sqrt{3} a=2 b \sin A$.
(1) 求 $B$;
(2) 若 $b=\sqrt{7}, c=3$, 且 $D$ 为边 $A C$ 的中点, 求 $B D$.

如图, 在正四棱锥 $P-A B C D$ 中, $A B=2$, 过点 $A$ 向平面 $P C D$ 作垂线, 垂足为 $H$.
（1）求证: $A B \perp D H$;
（2）若 $A H=\sqrt{2}$, 求二面角 $H-B C-D$ 的余弦值.

为加快绍兴制造强市建议, 《中国制造 2025 绍兴实施方案》指出, 到 2025 年, 制造业重点领域全面实现智能化，基本实现 "绍兴制造" 向 "绍兴智造" 转型升级. 某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造, 为监测改造效果, 近期每天从生产线上随机抽取 10 件产品, 并分析某项质量指标. 根据长期经验,可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$.
（1）记 $X$ 表示一天内抽取的 10 件产品质量指标在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的件数, 求 $P(X \geqslant 1)$;
附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，则 $P(\mu-3 \sigma < Z < \mu+3 \sigma)=0.9974,0.9974^{10} \approx 0.9743$
(2) 下面是一天内抽取的 10 件产品的质量指标:

若质量指标大于 10.10 被认定为一等品, 现从以上 10 件产品中随机抽取 4 件, 记 $Y$ 为这 4 件产品中一等品的件数, 求 $Y$ 的分布列和数学期望.

已知函数 $f(x)=x \ln x-a x^2$ 有两个极值点 $x_1, x_2\left(x_1 < x_2\right)$.
（1）求实数 $a$ 的取值范围;（2）证明: 存在实数 $a$ 使得 $x_1+x_2=\frac{x_2}{x_1}$.